Landau 減衰


分布関数に戻って議論しよう。

イオンは一様な密度n0で分布する。 電子の Vlasov 方程式は

∂f/∂t + v∂f/∂x -eE/m ∂f/∂v = 0
Gauss の式は
∂E/∂x = -e/ε0(∫fdv - n0)
ここでf(x,v,t) = f0(v) + f1(x,v,t) とおく。 f0 は Maxwell 分布関数である。
0 = n0(m/2πkBT)1/2exp(-mv2/2kBT)
これを線形化して定常解を求める。 (Vlasov の解)
ε(k,ω) = 1 + e20mk ∫(∂f0/∂v)/(ω - kv) = 0
|ω| >> |kv| として展開すると
ω2 = ωp2(1 + k22 3kBT/m + … )
となる。

波の成長や減衰について考えるには初期値問題として解く必要がある。 (Landau の解)

Laplace 変換をすることにより

ε(k,ω) = ε0 + e2/mk ∫1/(ω - ku) ∂f0/∂u du
ここで ω = ωr + iγ とおくと、ε(k,ω) = 0 より
ωr2 = ωp2(1 + k22 3kBT/m + … )
γ = -ωr(π/8)1/2 1/(kλD)3 exp(-1/2(kλD)2 - 3/2)
となり、波は減衰する。


参考書

  • 水野幸雄:「プラズマ物理学」、共立出版
  • F.F. Chen:"Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion"、PLENUM

課題

  • Landau 減衰の成長率γの式を計算しなさい。
  • 波数kに対してωrと|γ|をグラフにしなさい。

Email: Keiichi Takasugi