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Child-Langmuirの法則

\includegraphics[width=5cm,clip]{shieth.eps}
\includegraphics[width=5cm,clip]{probe.eps}
\includegraphics[width=5cm,clip]{child-langmuir.eps}
電子ビームを引き出す場合を考える。 座標$x = 0$で速度$v = 0$、電位$V = 0$とする。 電子の運動エネルギーは

\begin{displaymath}
\frac 12 m_ev^2 = eV
\end{displaymath}

また、電流密度は

\begin{displaymath}
j = -env
\end{displaymath}

Poissonの式は

\begin{displaymath}
\frac {d^2V}{dx^2} = \frac {en}{\epsilon_0}
= - \frac j{\e...
...= - \frac j{\epsilon_0} \left( \frac {m_e}{2eV} \right)^{1/2}
\end{displaymath}

ここで空間電荷制限条件を付け加える。

\begin{displaymath}
E_0 = \left( \frac {dV}{dx} \right)_0 = 0
\end{displaymath}

これは$x = 0$で空間電荷が十分にあって電場が打ち消されていることを意味している。 Poissonの式を積分することにより、$j$$V$との関係が得られる。

\begin{displaymath}
j = - \frac {8\epsilon_0}{9d^2} \left( \frac e{2m_e} \right)^{1/2} V^{3/2}
\end{displaymath}

これがChild-Langmuirの法則で、ビーム電流は引き出し電圧の3/2乗で増加する。 ここで$d$はシースの厚さを表わすが、シースの具体的な構造については議論していない。 なお、イオンビームを引き出す場合も同様である。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日