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磁力線の拡散

Ohmの法則でHall項を無視すると

\begin{displaymath}
\vec{E} + \vec{j} \times \vec{B} = \eta \vec{j}
= \frac {\eta}{\mu_0} \nabla \times \vec{B}
\end{displaymath}

さらに$\nabla \times$をとると磁力線の誘導方程式が得られる。

\begin{displaymath}
\frac {\partial \vec{B}}{\partial t} = \nabla \times (\vec{v} \times \vec{B}) + \frac {\eta}{\mu_0} \nabla \times \vec{B}
\end{displaymath}

プラズマが動かない場合$v = 0$より

\begin{displaymath}
\frac {\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac {\eta}{\mu_0} \nabla \times \vec{B}
\approx \frac {\eta}{\mu_0L^2} \vec{B}
\end{displaymath}

ここで$L$は磁場が変化するスケール長であり、プラズマの大きさである。 この解は

\begin{displaymath}
\vec{B} = \vec{B}_0 e^{\pm \frac t{\tau}}
\end{displaymath}

となり、指数関数的に磁場がプラズマにしみ込んでいくことがわかる。 ここで

\begin{displaymath}
\tau = \frac {\mu_0L}{\eta}
\end{displaymath}

がその特徴的時間である。 $\eta \rightarrow 0$の極限で $\tau \rightarrow \infty$となって磁場のしみ込みがなくなり、プラズマが磁束を排除すること、また一旦プラズマに取り込まれた磁力線はプラズマとともに動く(凍りつきの状態である)ことがわかる。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日