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Debyeしゃへい

プラズマは荷電粒子の集合体であるので、外部から加えた電場に応答して荷電粒子が動き、その電場を打ち消してしまう。

\includegraphics[height=4cm,clip]{debye.eps}

正イオンと電子からなるプラズマを考える。

\begin{displaymath}
m_i \gg m_e, v_i \ll v_e
\end{displaymath}

イオンはほとんど静止している。

温度$T$、密度$n$のプラズマ中に$\phi_0$の電位を与える。 周囲の電位分布は Poisson の式より

\begin{displaymath}
\epsilon_0 \frac {d^2\phi}{dx^2} = -e(n_i - n_e)
\end{displaymath}

ここでイオンは一様なバックグラウンドを形成していると考える。

\begin{displaymath}
n_i = n_0
\end{displaymath}

電子は Boltzmann 分布をしている。

\begin{eqnarray*}
f_e(v)
& = & A\exp \left( -\frac {\frac 12 mv^2 + e\phi}{k_B...
...v^2}{k_BT_e} \right) \exp \left( -\frac {e\phi}{k_BT_e} \right)
\end{eqnarray*}

これを$v$で積分すると

\begin{eqnarray*}
n_e = \int_{-\infty}^{\infty} f_e(v)dv
& = & A\exp \left( -\...
...ht)dv \\
& = & n_0 \exp \left( -\frac {e\phi}{k_BT_e} \right)
\end{eqnarray*}

これを代入すると

\begin{displaymath}
\epsilon_0 \frac {d^2\phi}{dx^2} = en_0 \left\{ \exp \left( -\frac {e\phi}{k_BT_e} \right) -1 \right\}
\end{displaymath}

シースの境界付近では $\vert e\phi/k_BT_e\vert \ll 1$であるので

\begin{displaymath}
\exp \left( -\frac {e\phi}{k_BT_e} \right)
\approx 1 - \fr...
...e} + \frac 12 \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right)^2 - \cdots
\end{displaymath}

第2項までとると

\begin{displaymath}
\epsilon_0 \frac {d^2\phi}{dx^2} = -\frac {n_0e^2}{k_BT_e} \phi
\end{displaymath}

これは線形な方程式であるので簡単に解くことができて

\begin{displaymath}
\phi = \phi_0 \exp \left( - \frac {\vert x\vert}{\lambda_D} \right)
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
\lambda_D = \sqrt{ \frac {\epsilon_0 k_B T_e}{n_0 e^2}}
\end{displaymath}

Debye長とよばれ、電位の変化する特徴的な長さを表わす。

$\lambda_D$の数値公式は

\begin{displaymath}
\lambda_D[{\rm m}] = 7430 \sqrt{ \frac {T_e [{\rm eV}]}{n_0 [{\rm m^{-3}}]}}
\end{displaymath}



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日