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イオン音波

プラズマ近似、すなわちイオンと電子の密度について$n_i = n_e = n$が成り立っているとする。 イオンの運動方程式は

\begin{eqnarray*}
m_in \left(\frac {\partial v_i}{\partial t} + v_i \frac {\par...
...\partial x} - \gamma_ik_BT_i \frac {\partial n}{\partial x} \\
\end{eqnarray*}

ここで$m_i$はイオンの質量、$v_i$はイオンの速度である。 電場$E$を静電ポテンシャル$\phi$を使って表わし、イオンは断熱的な変化を受けるとした。 一次元の断熱過程に対しては比熱比$\gamma_i = 3$である。 イオンの連続の式は

\begin{displaymath}
\frac {\partial n}{\partial t} + \frac {\partial}{\partial x} (nv_i) = 0
\end{displaymath}

電子についてはBoltzmann平衡が成り立っている。

\begin{displaymath}
n = n_0 \exp \left(\frac {e\phi}{k_BT_e} \right)
= n_0 \left(1 + \frac {e\phi}{k_BT_e} + \dots \right)
\end{displaymath}

パラメータを0次の定常項と1次の振動項に分けて方程式を線形化する。

\begin{displaymath}
\cases{
n = n_0 + n_1 \cr
v_i = v_1 \cr
\phi = \phi_1 \cr
}
\end{displaymath}

さらに波を平面波であるとして $\exp i(kx-\omega t)$ の形の解を考えると波数$k$と振動数$\omega$の間の関係が得られる。

\begin{displaymath}
\frac {\omega^2}{k^2} = \frac {k_BT_e + 3k_BT_i}{m_i} \equiv c_s^2
\end{displaymath}

これがイオン音波の伝播を表わす式である。 この波は速度が波数$k$によらず一定($c_s$)で、$T_i$ = 0のときにも存在する。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日