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プラズマ振動

イオンは質量が大きいため電子と比べるとほとんど動かない。 そこでイオンは静止して一様な密度$n_0$で分布しているとする。 まずは熱運動を無視する。 問題を一次元で考えると、電子の運動方程式は

\begin{displaymath}
m_en_e \left(\frac {\partial v_e}{\partial t} + v_e \frac {\partial v_e}{\partial x} \right)
= - en_eE
\end{displaymath}

ここで$m_e$は電子の質量、$n_e$は電子の密度、$v_e$は電子の速度、$E$は電場である。 電子の連続の式は

\begin{displaymath}
\frac {\partial n_e}{\partial t} + \frac {\partial}{\partial x} (n_ev_e) = 0
\end{displaymath}

電場の発生は電荷の不均衡によるものなので、Poissonの式を用いて

\begin{displaymath}
\frac {\partial E}{\partial x} = \frac e{\epsilon_0} (n_0 - n_e)
\end{displaymath}

速度$v$と電場$E$は振動にともなって発生するので定常的なものは考えない。 パラメータを0次の定常項と1次の振動項に分けて方程式を線形化する。

\begin{displaymath}
\cases{
n_e = n_0 + n_1 \cr
v_e = v_1 \cr
E = E_1 \cr
}
\end{displaymath}

3つの方程式は

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle m_e \left(\frac {\partial v_1}{\part...
...15)\}
\put(-64,-8){\color{red} \line(1,1){15}}
\end{picture}
\end{displaymath}

波を平面波であるとして $\exp i(kx-\omega t)$ の形の解を考える。 $\displaystyle \frac {\partial}{\partial t} \rightarrow -i\omega, \ \frac {\partial}{\partial x} \rightarrow ik$ すると波数$k$と振動数$\omega$を含む、$n_1$$v_1$$E_1$との間の代数方程式になる。

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle - i \omega m_e v_1 = - eE_1
\color{...
... \cr
\displaystyle ik E_1 = - \frac e{\epsilon_0} n_1 \cr
}
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\omega^2 = \frac {n_0e^2}{\epsilon_0m_e} \equiv \omega_p^2
\end{displaymath}

これは波数$k$によらない固有振動であり、この振動数をプラズマ振動数という。 この場合、波数$k$が定まらないので波は伝搬しない。

プラズマ振動数の数値公式は

\begin{displaymath}
f_p = \frac {\omega_p}{2\pi} = 9.0 \sqrt{n_0}
\end{displaymath}



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日