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Boltzmann平衡

1次元の流体の運動方程式(磁場なし、あるいは磁力線に沿って)

\begin{displaymath}
mn \left( \frac {\partial v}{\partial t} + v \frac {dv}{dz}...
...(-40,-30){\color{red} 温度一定}
\end{picture}
\vspace{0.5cm}
\end{displaymath}

流体は電場や密度勾配によって力を受けて運動する。 非常に速く運動する電子に対しては $m \rightarrow 0$の極限で、あるいは平衡状態として

\begin{displaymath}
0 = qnE - k_BT \frac {\partial n}{\partial z}
\begin{pictu...
...rac {\partial \phi}{\partial z}$}
\end{picture}
\vspace{1cm}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\frac {\partial \phi}{\partial z} = - \frac {k_BT}{qn} \frac {\partial n}{\partial z}
\end{displaymath}

これを$z$で積分すると

\begin{eqnarray*}
\int d\phi & = & - \frac {k_BT}q \int \frac {dn}n \\
\phi & = & - \frac {k_BT}q \ln n + C
\end{eqnarray*}

これから

\begin{displaymath}
n = n_0 \exp \left( - \frac{q\phi}{k_BT} \right)
\end{displaymath}

が得られる。 これがBoltzmann平衡である。 ポテンシャル$\phi$と密度分布$n$とは1対1の関係がある。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日