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運動方程式

単一粒子の運動方程式は

\begin{displaymath}
m_j \frac {d\bm{v}_j}{dt} = q_j(\bm{E} + \bm{v}_j \times \bm{B})
\hspace{1cm} (j = i, \ e)
\end{displaymath}

密度$n$の流体の場合、単一粒子の運動方程式を$n$倍して

\begin{displaymath}
m_jn_j \frac {d\bm{v}_j}{dt} = q_jn_j(\bm{E} + \bm{v}_j \times \bm{B})
\end{displaymath}

これは流体とともに移動する座標で記述されている。 位置を固定して運動を記述するため、時間と空間に関する微分を分けて表現する。 たとえば時間と空間の関数$f$に対しては

\begin{eqnarray*}
\frac {df(\bm{r},t)}{dt}
& = & \frac {\partial f}{\partial t...
...
& = & \frac {\partial f}{\partial t} + \bm{v} \cdot \nabla f
\end{eqnarray*}

の関係が成り立つ。 これを用いて

\begin{displaymath}
m_jn_j \left[ \frac {\partial \bm{v}_j}{\partial t} + (\bm{...
...a)\bm{v}_j \right]
= q_jn_j(\bm{E} + \bm{v}_j \times \bm{B})
\end{displaymath}

速度$\bm{v}_j$$j$種流体のマクロな流れを表わす平均速度である。 左辺の第2項は対流項と呼ばれ、流れの速度が大きな場合に重要になる非線形項である。

温度$T_j$の流体はランダムな熱運動を含んでおり、圧力$p_j = nk_BT_j$を生ずる。 圧力の勾配が力となる。 運動方程式は圧力の項を加えて

\begin{displaymath}
m_jn_j \left[ \frac {\partial \bm{v}_j}{\partial t} + (\bm{...
...ight]
= q_jn_j(\bm{E} + \bm{v}_j \times \bm{B}) - \nabla p_j
\end{displaymath}

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日