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Rutherford散乱

\includegraphics[height=4.5cm,clip]{rutherford.eps}
入射粒子の電荷と質量を$Z_1e$$m_1$、標的粒子を$Z_2e$$m_2$とする。 重心系で考えると換算質量は

\begin{displaymath}
\mu = \frac {m_1m_2}{m_1 + m_2}
\end{displaymath}

距離$r$の位置でのポテンシャルは

\begin{displaymath}
U(r) = \frac {Z_1Z_2e^2}{4\pi\epsilon_0r}
\end{displaymath}

入射速度を$v$、衝突パラメータを$b$とする。 中心力場の運動

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle E = \frac {\mu}2 (\dot{r}^2 + r^2\do...
...arphi} = \mu vb
= const \hspace{3.5cm} : 角運動量保存 \cr
}
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\dot{\varphi} = \frac L{\mu r^2}
\end{displaymath}

エネルギー保存の式から

\begin{displaymath}
\dot{r}^2 = \frac {\mu}2 \left( E - U(r) \right) - \frac {L^2}{\mu^2 r^2}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\dot{r} = \frac {dr}{dt} = \sqrt{\frac {\mu}2 \left( E - U(r) \right) - \frac {L^2}{\mu^2 r^2}}
\end{displaymath}

これを積分して最接近するときの角度$\varphi_0$を求める。 $\displaystyle \dot{\varphi} = \frac {d\varphi}{dt} = \frac L{\mu r^2}$であったので

\begin{eqnarray*}
\varphi_0 = \int d\varphi & = & \int \frac L{\mu r^2} dt \\ 
...
... + \left( \frac {Z_1Z_2e^2}{4\pi\epsilon_0\mu v^2b} \right)^2}}
\end{eqnarray*}

散乱角 $\theta = \pi - 2\varphi_0$に対して

\begin{eqnarray*}
b & = & \frac {Z_1Z_2e^2}{4\pi\epsilon_0\mu v^2} \tan \varphi...
...){\includegraphics[width=4cm,clip]{triangle.eps}}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

となる。

断面積を$\sigma$とすると

\begin{eqnarray*}
d\sigma = 2\pi bdb
& = & 2\pi b \frac {db}{d\theta} d\theta ...
...
\frac {\cos \frac {\theta}2}{\sin^3 \frac {\theta}2} d\theta
\end{eqnarray*}

立体角を$\Omega$とすると $d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta$ を用いて

\begin{displaymath}
\frac {d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac {Z_1Z_2e^2}{8\pi\epsilon_0\mu v^2} \right)^2
\frac 1{\sin^4 \frac {\theta}2}
\end{displaymath}

これがRutherfordの公式である。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日