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Fermi加速

\includegraphics[height=3.5cm,clip]{fermi.eps}

ミラー磁場が互いに速度$v_m$で近づいてくる。 1回の衝突によって受ける速度変化

\begin{displaymath}
\Delta v = 2v_m
\end{displaymath}

$v_{\perp}$は変わらない。

\begin{displaymath}
v_{\parallel}' = v_{\parallel} + 2v_m
\end{displaymath}

ミラー比$R_m = 4$とする。

\begin{displaymath}
\sin \theta_m = \frac 12 = \frac {v_{\perp}}{v_0}
\end{displaymath}

Loss Coneの外にいる条件は

\begin{displaymath}
\frac {v_{\perp}^2}{v_{\parallel}^2 + v_{\perp}^2} \ge \frac 14
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
v_{\parallel}^2 + v_{\perp}^2 \le 4v_{\perp}^2
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
v_{\parallel} \le \sqrt{3} v_{\perp}
\end{displaymath}

衝突の結果、ぎりぎりLoss Coneに到達する粒子

\begin{displaymath}
\frac {v_{\perp}^2}{v_{\parallel}'^2 + v_{\perp}^2}
= \fra...
...erp}^2}{(v_{\parallel} + 2v_m)^2 + v_{\perp}^2}
\le \frac 14
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
(v_{\parallel} + 2v_m)^2 + v_{\perp}^2 \ge 4v_{\perp}^2
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
v_{\parallel} + 2v_m \ge \sqrt{3} v_{\perp}^2
\end{displaymath}

逆に、$v_m$の条件は

\begin{displaymath}
v_m \ge \frac {\sqrt{3} v_{\perp} - v_{\parallel}}2
\end{displaymath}

$W_{\perp} = W_{\parallel}$ = 1 [keV] のprotonを1回の衝突でLoss Coneに落とすような$v_m$を求める。

\begin{displaymath}
\color{blue} v_{\perp} = \sqrt{\frac {2W_{\perp}}m} = 4.4 \times 10^5 \ [{\rm m/s}]
= v_{\parallel}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\color{blue} v_m \ge 1.6 \times 10^5 \ [{\rm m/s}]
\end{displaymath}



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日