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磁気ミラー

\includegraphics[height=5cm,clip]{mirror.eps}

磁気モーメントの保存により、荷電粒子は磁力線に沿って磁場の弱いところに補足される。 一対のコイルの作る不均一磁場中で、中間部分(midplane)で速度成分$v_{\perp 0}$および $v_{\parallel 0}$をもつ粒子を考える。 磁気モーメント$\mu$の保存より、磁場$B$のところで

\begin{displaymath}
\displaystyle \frac {\frac 12 mv_{\perp}^2}B = \frac {\frac 12 mv_{\perp 0}^2}{B_0}
\end{displaymath}

すなわち$B$の増減により$v_{\perp}$も増減する。 またエネルギー保存より

\begin{displaymath}
\frac 12 mv_{\perp}^2 + \frac 12 mv_{\parallel}^2
= \frac ...
..._{\perp 0}^2 + \frac 12 mv_{\parallel 0}^2
= \frac 12 mv_0^2
\end{displaymath}

したがって

\begin{displaymath}
B \nearrow 大で v_{\perp} \nearrow 大, \ v_{\parallel} \searrow 小
\end{displaymath}

となって $v_{\parallel} = 0$となるところで粒子は反射される。 磁場のこのような作用を磁気ミラー(鏡)と呼んでいる。
\includegraphics[height=4cm,clip]{pitch.eps}
ちょうどコイル直下(throat)で $v_{\parallel} = 0$となるような粒子を考える。 このとき $v_{\perp} = v_0$。 ここでの磁場を$B_m$とすると

\begin{displaymath}
\frac {B_0}{B_m} = \frac {v_{\perp 0}^2}{v_0^2}
= \sin^2 \theta_m \equiv \frac 1{R_m}
\end{displaymath}

ここで速度ベクトル$\bm{v}$の磁力線とのなす角$\theta$は粒子のピッチ角であり、らせん軌道のピッチを決める。 ピッチ角$\theta_m$はぎりぎりthroatで反射されるようなピッチ角であり、$\theta$がこれより小さいと反射されずにthroatを通り抜けて逃げてしまう。 速度空間でこのような領域は円錐形をしていて、Loss Cone (損失円錐)とよばれる。 なお、$R_m$はミラー比とよばれている。
\includegraphics[height=4cm,clip]{losscone.eps}

Loss Coneの立体角は

\begin{eqnarray*}
\Omega_m & = & 2 \times 2\pi \int_0^{\theta_m} \sin \theta d\...
... [\cos \theta]_0^{\theta_m} \\
& = & 4\pi (1 - \cos \theta_m)
\end{eqnarray*}

である。 ミラー比$R_m = 4$のとき、

\begin{displaymath}
\sin \theta_m = \color{blue} \frac 12
\end{displaymath}

より、 $\theta_m = 30^{\circ}$となる。 等方的な粒子をミラー磁場に入れたときに逃げる割合は

\begin{displaymath}
\frac {\Omega_m}{4\pi} = \color{blue} 1 - \frac {\sqrt{3}}2 = 0.134
\end{displaymath}



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日