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磁気モーメント

磁力線に沿って磁束密度が変化している場合を考える。

\includegraphics[height=4cm,clip]{moment.eps}
軸対称な場合 $\displaystyle \left( \frac {\partial}{\partial\theta} = 0 \right)$ $\nabla\cdot\bm{B} = 0$より、円筒座標で

\begin{displaymath}
\frac 1r \frac {\partial}{\partial r} (rB_r) + \frac {\partial B_z}{\partial z} = 0
\end{displaymath}

$\displaystyle \frac{\partial B_z}{\partial z}$$r$に対してほとんど変化しないとすると

\begin{displaymath}
rB_r = - \int^r_0 r \frac {\partial B_z}{\partial z}dr
\approx - \frac {r^2}2 \frac {\partial B_z}{\partial z}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
B_r = - \frac r2 \frac {\partial B_z}{\partial z}
\end{displaymath}

Lorentz力は円筒座標で

\begin{displaymath}
\bm{F} = q(\bm{v} \times \bm{B})
\end{displaymath}



120D, 220D $\rightarrow$ 通常のLarmor回転 ($B_z$$v_{\perp}$による)
320D $\rightarrow$ 曲率ドリフト ($v_{\parallel}$による)
420D は磁力線に沿った粒子の運動に影響を与える
この式の中で$B_z$を含む項は通常のLarmor回転運動を生ずる。 また$v_z$を含む項は曲率ドリフトを生ずる。 残りの$v_{\theta}B_r$による力は今まで出てこなかったものである。

\begin{displaymath}
F_z = - \frac 12 qv_{\theta}r \frac {\partial B_z}{\partial...
...put(-80,-22){\color{red} $r_L$}
\end{picture}
\vspace{0.5cm}
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
\mu \equiv \frac 12 \frac {mv_{\perp}^2}B
\end{displaymath}

は円運動をする荷電粒子のもつ磁気モーメントである。 回転する荷電粒子による電流は

\begin{displaymath}
I = q \frac {\omega_c}{2\pi}
\end{displaymath}

軌道円の面積は

\begin{displaymath}
A = \pi r_L^2
\end{displaymath}

より、

\begin{displaymath}
IA = \frac q{2\pi} \frac {qB}m \pi \left( \frac {mv_{\perp}}{qB} \right)^2
= \frac 12 \frac {mv_{\perp}^2}B
\end{displaymath}

となって、電磁気学での定義$\mu = IA$と一致する。

この力により磁力線に沿った粒子の運動は

\begin{displaymath}
m \frac {dv_{\vert\vert}}{dt} = - \mu \frac {\partial B_z}{\partial z}
\end{displaymath}

両辺に$v_{\parallel}$をかけると

\begin{displaymath}
mv_{\parallel} \frac {dv_{\parallel}}{dt} = \frac d{dt} \le...
...rtial B_z}{\partial z} \frac {dz}{dt}
= - \mu \frac {dB}{dt}
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
\frac d{dt} \left( \frac 12 mv_{\perp}^2 \right)
= \frac d{dt} (\mu B)
= B \frac {d\mu}{dt} + \mu \frac {dB}{dt}
\end{displaymath}

であるので、両辺にこれを加えると、運動エネルギーの保存より

\begin{displaymath}
\frac d{dt} \left( \frac 12 mv_{\perp}^2 + \frac 12 mv_{\pa...
... d{dt} (\mu B) - \mu \frac {dB}{dt}
= B \frac {d\mu}{dt} = 0
\end{displaymath}

となって

\begin{displaymath}
\frac {d\mu}{dt} = 0
\end{displaymath}

すなわち磁気モーメントが保存することがわかる。

回転軌道の取り囲む磁束は

\begin{displaymath}
\Phi = B \pi r_L^2
= B \pi \left( \frac {mv_{\perp}}{qB} \...
...ebox{-90}{=}}
\put(-20,-38){\color{red} $\mu$}
\end{picture}
\end{displaymath}

となって保存されることがわかる。
\includegraphics[width=9cm,clip]{flux.eps}
粒子は磁力管に沿ってらせん運動をする。


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Keiichi Takasugi
平成24年1月12日