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不均一な磁場中での粒子の運動

磁場の勾配$\nabla B$

\includegraphics[width=12cm,clip]{gradb.eps}

磁場を$z$方向にとる。 ( $\bm{B} = B\bm{e}_z$) さらに、$y$方向への不均一性を考える。 ($B = B(y)$) Lorentz力は

\begin{displaymath}
\bm{F} = q\bm{v} \times \bm{B}
\end{displaymath}

これを成分で表わすと

\begin{displaymath}
\cases{
F_x = qv_yB(y) \cr
F_y = -qv_xB(y) \cr
}
\end{displaymath}

磁場の勾配がゆるやかであるとする。 ( $\vert\nabla B/B\vert \ll 1/r_L$)

粒子は基本的にLarmor回転運動する。

\begin{displaymath}
\cases{
v_x = v_{\perp} \cos (\omega_c t + \delta) \cr
v_y = -v_{\perp} \sin (\omega_c t + \delta) \cr
}
\end{displaymath}

また、

\begin{displaymath}
\cases{
x = r_L \sin (\omega_c t + \delta) + x_0 \cr
y = r_L \cos (\omega_c t + \delta) + y_0 \cr
}
\end{displaymath}

$B(y)$をTaylor展開し第1項までとる。

\begin{eqnarray*}
B & = & B_0 + \frac {\partial B}{\partial y}\delta y \\
& ...
...ctor(1,1){10}}
\put(-50,50){\color{red} $y-y_0$}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

これから

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle F_x = -qv_{\perp} \sin (\omega_c t +...
..._c t + \delta) \frac {\partial B}{\partial y} \right\} \cr
}
\end{displaymath}

回転にわたって平均をとると、

\begin{eqnarray*}
\langle F_x \rangle
& = & -qv_{\perp}B_0 \frac {\omega_c}{2...
...5,25)\}
\put(280,13){\color{red} \line(3,1){75}}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

また

\begin{eqnarray*}
\langle F_y \rangle
& = & -qv_{\perp}B_0 \langle \cos (\ome...
...r(0,-1){10}}
\put(142,0){\color{red} $\frac 12$}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

この力が平均的に粒子にはたらくので、この力よるドリフトは

\begin{eqnarray*}
\bm{v}_D = \frac {\langle \bm{F} \rangle \times \bm{B}}{qB^2}...
... 12 mv_{\perp}^2}{qB^2} \frac {\partial B}{\partial y} \bm{e}_x
\end{eqnarray*}

一般化して考えると、勾配$\nabla B$によるドリフトは

\begin{displaymath}
\bm{v}_{\nabla B} = \frac 12 mv_{\perp}^2 \frac {\bm{B} \times \nabla B}{qB^3}
\end{displaymath}

となる。 イオンと電子とは互いに逆方向にドリフトするため、荷電分離が生ずることになる。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日