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一様な電場・磁場中の運動

$z$方向の磁場に加え、一様な電場がある場合の荷電粒子の運動方程式は

\begin{displaymath}
m \frac {d\bm{v}}{dt} = q(\bm{E} + \bm{v}\times\bm{B})
\end{displaymath}

電場$\bm{E}$ $\bm{E} = (E_x, E_y, E_z)$ のように成分で表わすと、運動方程式は

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle m \frac {dv_x}{dt} = q (E_x + v_yB) ...
...y - v_xB) \cr
\displaystyle m \frac {dv_z}{dt} = qE_z \cr
}
\end{displaymath}

これからまず$z$成分は

\begin{displaymath}
v_z = \frac {qE_z}m t + v_{z0}
\end{displaymath}

等加速度運動をする。

$x, y$成分はそれぞれ$t$で微分すると

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle m \frac {d^2v_x}{dt^2} = \frac {qB}m...
...frac {qB}m \right)^2 \left( v_y - \frac {E_x}B \right) \cr
}
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle v_x = v_{\perp} \cos (\omega_c t + \...
...= -v_{\perp} \sin (\omega_c t + \delta) - \frac {E_x}B \cr
}
\end{displaymath}

のように成分で表わすと、この解は

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle v_x = v_{\perp} \cos (\omega_c t + \...
...E_x}B \cr
\displaystyle v_z = \frac {qE_z}mt + v_{z0} \cr
}
\end{displaymath}

この最後の項がドリフトを表わす。 これはサイクロトロン運動に

\begin{displaymath}
\bm{v}_E = \frac {E_y}B\bm{e}_x - \frac {E_x}B\bm{e}_y
= \frac {\bm{E} \times \bm{B}}{B^2}
\end{displaymath}

のドリフトがつけ加わったものである。 この電場によるドリフトは ドリフトの方向は電荷に依存しない。 $z$方向には等加速度運動をするので、3次元的には傾いてピッチが変化するらせん運動をすることになる。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日