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一様な磁場中の運動

磁場を$z$方向にとる。 ( $\bm{B} = B\bm{e}_z$) 質量$m$、電荷$q$の粒子の運動方程式は

\begin{displaymath}
m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{v} \times \bm{B}
\end{displaymath}

速度を $\bm{v} = (v_x, v_y, v_z)$ のように成分で表わすと、運動方程式は

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle m \frac {dv_x}{dt} = qv_yB \cr
\dis...
...{\includegraphics[height=4cm,clip]{vector.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

これからまず$z$成分は

\begin{displaymath}
v_z = v_{z0} \hspace{10pt} (const)
\end{displaymath}

$x, y$成分はそれぞれ$t$で微分すると

\begin{displaymath}
\cases{
\displaystyle m \frac {d^2v_x}{dt^2} = \frac {qB}m...
...frac {dv_x}{dt}
= - \left( \frac {qB}m \right)^2 v_y \cr
}
\end{displaymath}

これは単振動の方程式なので解は

\begin{displaymath}
\cases{
v_x = v_{\perp} \cos (\omega_c t + \delta) \cr
v_y = -v_{\perp} \sin (\omega_c t + \delta) \cr
}
\end{displaymath}

ここで回転の振動数

\begin{displaymath}
\omega_c \equiv \frac {qB}m
\end{displaymath}

をサイクロトロン振動数という。 もう一回積分すると

\begin{displaymath}
\cases{
x = r_L \sin (\omega_c t + \delta) + x_0 \cr
y = r_L \cos (\omega_c t + \delta) + y_0 \cr
}
\end{displaymath}

ここで回転の半径

\begin{displaymath}
r_L \equiv \frac {v_{\perp}}{\omega_c} = \frac {mv_{\perp}}{qB}
\end{displaymath}

Larmor半径という。

\includegraphics[height=5cm,clip]{orbit.eps} \includegraphics[height=4cm,clip]{gyration.eps}

粒子の軌道は座標($x_0, y_0$)を中心とする円軌道になる。 $z$方向には等速運動をするので、3次元的にはらせん運動をすることになる。 回転の方向は

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年1月12日