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反射型回折格子

スリットの代わりに角度$ \theta$ のブレーズ(刃)を規則正しく並べたのが反射型の回折格子である。 まず、単独のブレーズの反射について見てみる。

\includegraphics[height=3.5cm,clip]{reflection.eps} \includegraphics[height=3.5cm,clip]{reflection2.eps}
ブレーズ表面の法線に対する入射角を$ \alpha$ 、反射角を$ \beta$ とする。 座標 $ x$ の位置、つまりブレーズ表面では $ x' = x/\cos \theta$ で反射する波は入射側で $ x' \sin \alpha$ 位相が遅れ、反射側で $ x' \sin \beta$ 位相が進む。 したがって全体で波の位相は

$\displaystyle \frac x{\cos \theta} (\sin \alpha - \sin \beta)
$

遅れる。 これから、この位置で反射する波は

$\displaystyle dE = Ae^{i \left( \omega t - kx \underline{\frac {\sin \alpha - \...
...red} \rotatebox{-90}{=}}
\put(-40,-20){\color{red} $2 \Theta$}
\end{picture}
$

と表わされる。 ここで

$\displaystyle \frac {\sin \alpha - \sin \beta}{\cos \theta} \equiv 2 \Theta
$

とおく。 これをブレーズ全体で積分すると
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle Ae^{i\omega t} \int_{-\frac d2}^{\frac d2} e^{-2ikx \Theta} dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle Ae^{i\omega t} \left[ \frac {e^{-2ikx \Theta}}{-2ik \Theta} \right]_{-\frac d2}^{\frac d2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle Ae^{i\omega t} \frac {e^{-ikd \Theta} - e^{ikd \Theta}}{-2ik \Theta}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{i\omega t} \frac {A \sin kd \Theta}{k \Theta}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2A \cos \theta \sin \left[ kd \frac {\sin \alpha - \sin \be...
...\alpha = \beta$}
\put(5,3){\color{red} のとき反射が最も強くなる}
\end{picture}$  

このようなブレーズを規則的に並べた回折格子について考える。

\includegraphics[height=3.5cm,clip]{reflection3.eps} \includegraphics[height=3.5cm,clip]{reflection4.eps}
$ n$ 番目のブレーズで反射する波の位相は

$\displaystyle nkd \{ \underline{\sin (\alpha + \theta) - \sin (\beta - \theta)}...
...ed} \rotatebox{-90}{=}}
\put(-70,-30){\color{red} $2 \Theta'$}
\end{picture}
$

ここで

$\displaystyle \sin (\alpha + \theta) - \sin (\beta - \theta) \equiv 2 \Theta'
$

とおくと

$\displaystyle E_n = \frac{A \sin kd \Theta}{k \Theta} e^{i(\omega t - 2nkd \Theta')}
$

和をとると
$\displaystyle E = \sum E_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac {A \sin kd \Theta}{k \Theta} e^{i\omega t}
\sum_{n=0}^{N-1} e^{-2nikd \Theta'}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{A \sin kd \Theta}{k \Theta} e^{i\omega t}
\frac{1 - e^{2iNkd \Theta'}}{1 - e^{2ikd \Theta'}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{A \sin kd \Theta}{k \Theta} e^{i\omega t} e^{i(N-1)kd \Thet...
...\frac{e^{-iNkd \Theta'} - e^{iNkd \Theta'}}{e^{-ikd \Theta'} - e^{ikd \Theta'}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \underbrace{\frac{A \sin kd \Theta}{k \Theta}}_{\color{red} 回折}...
...eta'}{\sin kd \Theta'}}_{\color{red} 干渉}
e^{i\omega t} e^{i(N-1)kd \Theta'}$  

この干渉パターンは

$\displaystyle kd \Theta' = \frac {kd}2 \{ \sin (\alpha + \theta) - \sin (\beta\ - \theta) \} = m\pi
$

すなわち

$\displaystyle \sin (\alpha + \theta) - \sin (\beta - \theta) = \frac {m \lambda}d
$

のとき極大になる。 あらためて

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lll}
\alpha + \theta & \equiv & \al...
...cludegraphics[width=3cm,clip]{reflection6.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

すなわち、回折格子全体の法線に対する入射角を$ \alpha'$ 、反射角を$ \beta'$ とすると

$\displaystyle \sin \alpha' - \sin \beta' = \frac {m \lambda}d
$

のとき回折が強く起こる。 $ m = 0$ では波長$ \lambda$ によらず $ \alpha' = \beta'$ となり、これを0次光という。


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Keiichi Takasugi
平成25年9月18日