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透過型回折格子

スリットを規則正しく配置したものが(透過型の)回折格子である。 スリットの間隔を $ h$ とする。

\includegraphics[height=3.5cm,clip]{grating.eps}
$ n$ 番目のスリットから出て角度 $ \theta$ の方向に回折する波の位相は $ nkh \sin \theta$ だけ遅れるので

$\displaystyle E_n = \frac {2A\sin(\frac{ka \sin \theta}2)}{k \sin \theta}
e^{i(\omega t - nkh \sin \theta)}
$

この和をとると

$\displaystyle E = \sum_{n=0}^{N-1} E_n
= \frac {2A\sin(\frac{ka \sin \theta}2)}{k \sin \theta}
e^{i\omega t} \sum_{n=0}^{N-1} e^{-inkh \sin \theta}
$

ここで $ e^{-ikh \sin \theta} = \alpha$ とおくと

$\displaystyle e^{-inkh \sin \theta} = \alpha^n
$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} \alpha^n = 1 + \alpha + \cdots + \alpha^{N-1} = \frac {1 - \alpha^N}{1 - \alpha}
$

であるので
$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} e^{-inkh \sin \theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac {1 - e^{-iNkh \sin \theta}}{1 - e^{-ikh \sin \theta}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac {e^{-i \frac {Nkh \sin \theta}2}
(e^{i \frac {Nkh \sin \t...
...n \theta}2}
(e^{i \frac {kh \sin \theta}2} - e^{-i \frac {kh \sin \theta}2})}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-i \frac {(N-1)kh \sin \theta}2}
\frac {\sin (\frac {Nkh \sin \theta}2)}{\sin (\frac {kh \sin \theta}2)}$  

したがって

$\displaystyle E = \underbrace{\frac {2A\sin (\frac {ka \sin \theta}2)}{k \sin \...
...or{red} 干渉}
e^{i \left[ \omega t - \frac {(N-1)kh \sin \theta)}2 \right]}
$

\includegraphics[height=4.5cm,clip]{grating2.eps}
この干渉パターンは

$\displaystyle \frac {kh \sin \theta}2 = m\pi
$

すなわち

$\displaystyle \sin \theta = \frac{2m \pi}{kh} = \frac{m \lambda}h
$

のときに極大になる。



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日