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回折

Huygens-Fresnel の原理によれば光の波はある波面から発生した2次的な波の重ね合わせとして次々と波が作られ、伝搬していく。

\includegraphics[width=10cm,clip]{huygens.eps}
長いスリットによる Flaunhofer 回折について考える。 スリットの幅を $ a$ とする。 スリット間の各点から同じ振動数で同じ位相の波が発生する。
\includegraphics[width=10cm,clip]{flaunhofer.eps}
計算の都合上、指数関数を用いて波動を表わすことにしよう。 スリットの中央を $ x = 0$ として、座標 $ x$ から角度 $ \theta$ の方向に伝わる波の位相は $ kx \sin \theta$ だけ遅れるので

$\displaystyle dE = A e^{i(\omega t - kx \sin \theta)} dx
$

これをスリットの幅にわたって積分すると
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A e^{i \omega t} \int_{-\frac a2}^{\frac a2} e^{-ikx \sin \theta} dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle A e^{i \omega t} \left[ \frac {e^{-ikx \sin \theta}}{-ik \sin \theta} \right]_{-\frac a2}^{\frac a2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle A e^{i \omega t} \frac {e^{-i \frac {ka \sin \theta}2} - e^{i \frac{ka \sin \theta}2}}{-ik \sin \theta}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac {2A\sin(\frac {ka \sin \theta}2)}{k \sin \theta} e^{i \omega t}$  

光の強度は

$\displaystyle I = \vert E\vert^2 = \left[ \frac {2A\sin(\frac {ka \sin \theta}2)}{k \sin \theta} \right]^2
$

\includegraphics[height=4cm,clip]{diffraction.eps}
これは $ ka \sin \theta = 2\pi$ のとき最初の極小値をとる。これが回折光の特徴的な広がりの角度を与える。 すなわち

$\displaystyle \sin \theta = \frac{2\pi}{ka} = \frac{\lambda}a
$



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日