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干渉

Mach-Zender Michelson
\includegraphics[width=5cm,clip]{mach.eps} \includegraphics[width=4cm,clip]{michelson.eps}

同一時刻に出発した同位相の2つの光の波について考える。

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
E_1 = A_1 \cos (\omega t - k_1x_1) \\
E_2 = A_2 \cos (\omega t - k_2x_2)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

光の強度はその二乗平均である。
$\displaystyle I_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle E_1^2 \right\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1^2 \frac {\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \cos^2 (\omega t - kx_1) dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1^2 \frac {\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \frac {1 + \cos 2(\omega t - kx_1)}2 dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac {A_1^2}2
\begin{picture}(0,0)\thicklines
% put(80,13)\{ framebox(75,25)\}
\put(64,33){\color{red} \line(4,1){65}}
\end{picture}$  

重ね合わせた光は
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_1 + E_2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1 \cos (\omega t - k_1x_1) + A_2 \cos (\omega t - k_2x_2)$  

であり、この強度は
$\displaystyle I$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle (E_1 + E_2)^2 \right\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac {A_1^2}2 + \frac {A_2^2}2
+ 2A_1A_2 \frac {\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \cos (\omega t - k_1x_1) \cos (\omega t - k_2x_2) dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle I_1 + I_2
+ A_1A_2 \frac {\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\om...
...
\left[ \cos (2\omega t - k_1x_1 - k_2x_2) + \cos (k_1x_1 - k_2x_2) \right] dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2} \cos (\underline{k_1x_1 - k_2x_2})$  
$\displaystyle \begin{picture}(0,0)\thicklines
% put(177,38)\{ framebox(75,...
...ector(0,-1){10}}
\put(148,-12){\color{red} 位相差}
\end{picture}
\vspace{2cm}$      

ここの $ k_1x_1 - k_2x_2$ の部分が位相差である。 干渉画像に現われる干渉縞のことをフリンジという。 1 フリンジというのは干渉縞1本分の位相差、すなわち$ 2\pi$ rad の位相差を表わす。


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Keiichi Takasugi
平成25年9月18日