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放射線統計

放射性崩壊、原子核反応、宇宙線係数などは時間的にランダムな現象である。 時間間隔 $ T$ の間に平均 $ n$ 個の現象が起こるとする。 時間 $ T$ の間に $ m$ 個の現象が起きる確率 $ p(m)$ を求めたい。 時間 $ T$$ N$ 等分する。 各微小時間に現象が起きる確率は $ n/N$ 、起きない確率は $ 1-n/N$ である。 $ m$ 個の微小時間に現象が起きて、残りで現象が起きない確率は

$\displaystyle \left(\frac nN\right)^m \left(1 - \frac nN\right)^{N-m}
$

このような組み合わせは

$\displaystyle _NC_m = \frac{N!}{m!(N-m)!}
$

分割数 $ N \rightarrow \infty$ の極限をとってこの現象の起きる確率とする。

$\displaystyle p(m) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{N!}{m!(N-m)!}
\left(\frac nN\right)^m \left(1 - \frac nN\right)^{N-m}
$

ここで Stirling の公式を用いると

$\displaystyle N! \simeq \left(\frac Ne\right)^N
$

と近似できるので

$\displaystyle p(m) \simeq \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{N^Ne^{-N}}{m!(N-m)!}
\frac {n^m (N-n)^{N-m}}{N^N}
$

さらに
$\displaystyle (N-n)^{N-m}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (N-n)^{N-n} (N-n)^{n-m}$  
  $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle (N-n)! e^{N-n} (N-n)^{n-m}$  

とおくと
$\displaystyle p(m)$ $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{e^{-n}n^m}{m!}
\frac {(N-n)!(N-n)^{n-m}}{(N-m)!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{-n}}{m!} n^m$  

これがPoisson 分布である。
$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} p(m)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} \frac{n^m}{m!} e^{-n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^n e^{-n} = 1$  

より、$ p(m)$ が確率分布であることがわかる。 $ m$ の平均値は
$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} mp(m)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} m \frac{n^m}{m!} e^{-n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} n \frac{n^{m-1}}{(m-1)!} e^{-n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n e^n e^{-n} = n$  

また、$ m^2$ の平均値は
$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} m^2p(m)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} m^2 \frac{n^m}{m!} e^{-n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} (m-1) \frac{n^m}{(m-1)!} e^{-n}
+ \sum_{m=1}^{\infty} \frac{n^m}{(m-1)!} e^{-n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty} n^2 \frac{n^{m-2}}{(m-2)!} e^{-n}
+ \sum_{m=1}^{\infty} n \frac{n^{m-1}}{(m-1)!} e^{-n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2 + n$  

ずれの二乗平均を求めると
$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} (m-n)^2p(m)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} m^2 p(m) - 2n \sum_{m=0}^{\infty} m p(m)
+ n^2 \sum_{m=0}^{\infty} p(m)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2 + n - 2n^2 + n^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n$  

したがって標準偏差(標準誤差)は $ \sqrt{n}$ となり、測定値 $ m$ を得たときは

$\displaystyle m \pm \sqrt{m}
$

となる。


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Keiichi Takasugi
平成25年9月18日