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運動量アナライザ

一様磁場中での荷電粒子の運動。 運動方程式

$\displaystyle m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{v} \times \bm{B}
\begin{picture}(0,0)
\put(40,-30){\includegraphics[width=5cm,clip]{momentum.eps}}
\end{picture}
$

磁場 $ \bm{B} = (0, 0, B)$ として成分に分けると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dv_x}{dt} = ...
...ystyle \frac{dv_y}{dt} = -\frac qm v_xB
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

これを解くと

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
v_x = v_0 \cos(\omega t + \phi) \\
v_y = -v_0 \sin(\omega t + \phi)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

ここで $ \omega \equiv qB/m$ はサイクロトロン振動数である。 さらに

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x = x_0 + \frac{v_...
...cludegraphics[width=4.5cm,clip]{momentum2.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

半径 $ r_0 \equiv v_0/\omega$ で回転運動をする。 $ r_0$Larmor 半径と呼ばれる。 ここで $ v_{y0}/v_{x0} = \tan \theta$ とすると $ \phi = \theta$ 、また $ t = 0$$ x = y = 0$ とすると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x = r_0\{\sin(\omega t + \theta)...
...\cos(\omega t + \theta) - \cos \theta\}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

ここで、$ y = 0$ となるのは $ \omega t + \theta = \pm \theta$ より、 $ t = 0, -2\theta/\omega$ であるので
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2r_0 \sin \theta$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2mv_0}{qB} \sin \theta$  

すなわち飛距離 $ l$ は入射粒子の運動量に比例し、磁場 $ B$ との比によって決まる。

$\displaystyle \frac{dl}{d\theta} = 2r_0 \cos \theta = 0
$

より $ \theta = \pi/2$ のときに極値をとり、$ \theta$ に対する変化が最も小さくなる。



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日