運動量アナライザ

一様磁場中での荷電粒子の運動。 運動方程式

$$m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{v} \times \bm{B} \begin{picture}(0,0) \put(40,-30){\includegraphics[width=5cm,clip]{momentum.eps}} \end{picture}$$

磁場 $\bm{B} = (0, 0, B)$ として成分に分けると

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dv_x}{dt} = ... ...ystyle \frac{dv_y}{dt} = -\frac qm v_xB \end{array} \right.$$

これを解くと

$$\left\{ \begin{array}{l} v_x = v_0 \cos(\omega t + \phi) \\ v_y = -v_0 \sin(\omega t + \phi) \end{array} \right.$$

ここで $\omega \equiv qB/m$ はサイクロトロン振動数である。 さらに

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x = x_0 + \frac{v_... ...cludegraphics[width=4.5cm,clip]{momentum2.eps}} \end{picture}$$

半径 $r_0 \equiv v_0/\omega$ で回転運動をする。 $r_0$ はLarmor 半径と呼ばれる。 ここで $v_{y0}/v_{x0} = \tan \theta$ とすると $\phi = \theta$ 、また $t = 0$ で $x = y = 0$ とすると

$$\left\{ \begin{array}{l} x = r_0\{\sin(\omega t + \theta)... ...\cos(\omega t + \theta) - \cos \theta\} \end{array} \right.$$

ここで、$y = 0$ となるのは $\omega t + \theta = \pm \theta$ より、 $t = 0, -2\theta/\omega$ であるので

$$l = 2r_0 \sin \theta$$

$$= \frac{2mv_0}{qB} \sin \theta$$

すなわち飛距離 $l$ は入射粒子の運動量に比例し、磁場 $B$ との比によって決まる。

$$\frac{dl}{d\theta} = 2r_0 \cos \theta = 0$$

より $\theta = \pi/2$ のときに極値をとり、$\theta$ に対する変化が最も小さくなる。