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静電エネルギーアナライザ

一様電場中での荷電粒子の運動。 運動方程式

$\displaystyle m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{E}
\begin{picture}(0,0)
\put(30,-30){\includegraphics[width=6cm,clip]{energy.eps}}
\end{picture}
$

電場 $ \bm{E} = (0, -E)$ として成分に分けると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dv_x}{dt} = ...
...playstyle \frac{dv_y}{dt} = -\frac{qE}m
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
v_x = v_{x0} \\
\displaystyle v_y = v_{y0} - \frac{qE}m t
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

さらに

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x = x_0 + v_{x0}t \\
\displaystyle y = y_0 + v_{y0}t - \frac{qE}{2m} t^2
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

ここで $ x_0 = 0$ , $ y_0 = 0$ として $ y$$ x$ の関係を求めると

$\displaystyle y = \frac{v_{y0}}{v_{x0}} x \left(1 - \frac{qE}{2mv_{x0}v_{y0}} x\right)
$

これは上に凸の放物線で、$ x$ 方向の幅は

$\displaystyle l = \frac{2mv_{x0}v_{y0}}{qE}
$

特に入射角を $ \theta$ とすると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
v_{x0} = v_0 \cos \theta \\
v_...
...{\includegraphics[width=5cm,clip]{energy2.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

であるので

$\displaystyle l = \frac{mv_0^2 \sin 2\theta}{qE}
$

すなわち飛距離 $ l$ は入射粒子の運動エネルギーに比例し、電場 $ E$ との比によって決まる。

$\displaystyle \frac{dl}{d\theta} = \frac{2mv_0^2 \cos 2\theta}{qE} = 0
$

より $ \theta = \pi/4$ のときに極値をとり、$ \theta$ に対する変化が最も小さくなる。



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日