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Debyeしゃへい

プラズマは荷電粒子の集合体であるので、外部から加えた電場に応答して荷電粒子が動き、その電場を打ち消してしまう。

正イオンと電子からなるプラズマを考える。

$\displaystyle m_i \gg m_e, v_i \ll v_e
\begin{picture}(0,0)
\put(50,-30){\includegraphics[height=3cm,clip]{debye.eps}}
\end{picture}
$

イオンはほとんど静止している。

温度$ T$ 、密度$ n$ のプラズマ中に$ \phi_0$ の電位を与える。 周囲の電位分布は Poisson の式より

$\displaystyle \epsilon_0 \frac {d^2\phi}{dx^2} = -e(n_i - n_e)
$

ここでイオンは一様なバックグラウンドを形成していると考える。

$\displaystyle n_i = n_0
\begin{picture}(0,0)
\put(80,-40){\includegraphics[width=4cm,clip]{debye2.eps}}
\end{picture}
$

電子は Boltzmann 分布をしている。
$\displaystyle f_e(v)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A\exp \left( -\frac {\frac 12 mv^2 - e\phi}{k_BT_e} \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle A\exp \left( -\frac {\frac 12 mv^2}{k_BT_e} \right) \exp \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right)$  

これを$ v$ で積分すると
$\displaystyle n_e = \int_{-\infty}^{\infty} f_e(v)dv$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A\exp \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right)
\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac {\frac 12 mv^2}{k_BT_e} \right)dv$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n_0 \exp \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right)$  

これを Poisson の式に代入すると

$\displaystyle \epsilon_0 \frac {d^2\phi}{dx^2} = en_0 \left\{ \exp \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right) -1 \right\}
$

シースの境界付近では $ \vert e\phi/k_BT_e\vert \ll 1$ であるので

$\displaystyle \exp \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right)
\approx 1 + \frac {e\phi}{k_BT_e} + \frac 12 \left( \frac {e\phi}{k_BT_e} \right)^2 - \cdots
$

第2項までとると

$\displaystyle \epsilon_0 \frac {d^2\phi}{dx^2} = \frac {n_0e^2}{k_BT_e} \phi
$

これは線形な方程式であるので簡単に解くことができて

$\displaystyle \phi = \phi_0 \exp \left( - \frac {\vert x\vert}{\lambda_D} \right)
$

ここで

$\displaystyle \lambda_D = \sqrt{ \frac {\epsilon_0 k_B T_e}{n_0 e^2}}
$

Debye長とよばれ、電位の変化する特徴的な長さを表わす。

$ \lambda_D$ の数値公式は

$\displaystyle \lambda_D[{\rm m}] = 7430 \sqrt{ \frac {T_e [{\rm eV}]}{n_0 [{\rm m^{-3}}]}}
$



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日