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平均速度

速度$ v$ の(大きさの)平均値を求める。 速度$ v$ をかけて速度空間で積分する。

$\displaystyle \langle v \rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac 1n \int_0^{\infty} vf(v) 4\pi v^2 dv$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \left( \frac m{2\pi k_BT} \right)^{3/2} \int_0^{\infty} \exp \left( -\frac {mv^2}{2k_BT} \right) v^3 dv$  
    $\displaystyle \hspace{0.5cm} \color{red} \frac {mv^2}{2k_BT} = u とおくと$  
    $\displaystyle \hspace{0.5cm} \color{red} \frac m{k_BT} vdv = du$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \left( \frac m{2\pi k_BT} \right)^{3/2} \left( \frac {k_BT}m \right)^2 \int_0^{\infty} e^{-u} udu$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac {8k_BT}{\pi m}} \left\{ \underline{\left[ -e^{-u}u \right]_0^{\infty}} + \underline{\int_0^{\infty} e^{-u} du} \right\}$  
    $\displaystyle \hspace{5.0cm} \color{red} \rotatebox{-90}{=}$  
    $\displaystyle \hspace{4.3cm} \color{red} \left[ -e^{-u} \right]_0^{\infty} = 1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac {8k_BT}{\pi m}}
\begin{picture}(0,0)
\put(33,57){\color{red} \vector(0,-1){10}}
\put(30,33){\color{red} 0}
\end{picture}$  



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日