next up previous
Next: 平均速度 Up: 圧力測定 Previous: 平均エネルギー

三次元Maxwell分布

温度$ T$ の三次元のMaxwell分布は

$\displaystyle f(v_x, v_y, v_z) = n \left( \frac m{2\pi k_BT} \right)^{3/2}
\exp \left[ -\frac {\frac 12 m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{k_BT} \right]
$

である。 速度空間で積分すると
    $\displaystyle \iiint f dv_xdv_ydv_z$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n \left( \frac m{2\pi k_BT} \right)^{3/2}
\underline{\int_{-\in...
...) dv_y
\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{mv_z^2}{2k_BT} \right) dv_z$  
    $\displaystyle \hspace{4.5cm} \color{red} \rotatebox{-90}{=}$  
    $\displaystyle \hspace{3.5cm} \color{red} \sqrt{\frac{2\pi k_BT}m}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n$  

あるいは
$\displaystyle dv_xdv_ydv_z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v^2 \sin \theta dv d\theta d\varphi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi v^2 dv$  

を用いて
$\displaystyle \int_0^{\infty} f(v) 4\pi v^2dv$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi n \left( \frac m{2\pi k_BT} \right)^{3/2}
\int_0^{\infty} \exp \left( -\frac {mv^2}{2k_BT} \right) v^2dv$  
    $\displaystyle \hspace{0.5cm} \color{red} \frac {mv^2}{2k_BT} = u^2 とおく$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi n \left( \frac m{2\pi k_BT} \right)^{3/2}
\left( \frac {2k_BT}m \right)^{3/2} \underline{\int_0^{\infty} e^{-u^2} u^2 du}$  
    $\displaystyle \hspace{6.5cm} \rotatebox{-90}{=}$  
    $\displaystyle \hspace{5.5cm} \underline{\left[ -\frac 12 e^{-u^2}u \right]_0^{\infty}}
+ \frac 12 \underline{\int_0^{\infty} e^{-u^2} du}$  
    $\displaystyle \hspace{8.5cm} \color{red} \rotatebox{-90}{=}$  
    $\displaystyle \hspace{8.9cm} \color{red} \textstyle \frac {\sqrt{\pi}}2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n
\begin{picture}(0,0)
\put(178,42){\color{red} \vector(0,-1){10}}
\put(175,20){\color{red} 0}
\end{picture}$  


next up previous
Next: 平均速度 Up: 圧力測定 Previous: 平均エネルギー
Keiichi Takasugi
平成25年9月18日