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平均エネルギー

運動エネルギー $ \frac 12 mv^2$ をかけて平均をとる。

$\displaystyle \left\langle \frac 12 mv^2 \right\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac 1n \int_{-\infty}^{\infty} \frac 12 mv^2 f(v) dv$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac m2 \sqrt{\frac m{2\pi k_BT}} \int_{-\infty}^{\infty} v^2 \exp \left( -\frac {mv^2}{2k_BT} \right) dv$  
    $\displaystyle \hspace{0.5cm} \color{red} \frac {mv^2}{2k_BT} = u^2 とおく$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac m2 \sqrt{\frac m{2\pi k_BT}} \left(\frac {2\pi k_BT}m \right)^{3/2} \underline{\int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-u^2} du}$  
    $\displaystyle \hspace{5.5cm} \color{red} \rotatebox{-90}{=}$  
    $\displaystyle \hspace{4.5cm} \color{red} \int u \cdot u e^{-u^2} du$  
    $\displaystyle \hspace{5.5cm} \color{red} \rotatebox{-90}{=}$  
    $\displaystyle \hspace{4.5cm} \color{red} \underline{\left[-\frac 12 e^{-u^2} \r...
..._{-\infty}^{\infty}} + \underline{\int_{-\infty}^{\infty} \frac 12 e^{-u^2} du}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac 12 k_BT
\begin{picture}(0,0)
\put(128,15){\color{red} \ve...
...tatebox{-90}{=}}
\put(207,-8){\color{red} $\frac {\sqrt{\pi}}2$}
\end{picture}$  



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日