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伝送線路

線路要素 $ dx$ あたり $ Ldx$ および $ Cdx$ の素子からなる分布定数回路について考える。 電圧および電流の変化率は

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
d\tilde{V} = -i\omega Ldx (\tild...
...\
d\tilde{I} = -i\omega Cdx \tilde{V}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d\tilde{V}}{...
...){\includegraphics[width=5cm,clip]{trans2.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

これから次の伝搬方程式(電信方程式)が得られる。

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d^2\tilde{V}...
...){\includegraphics[width=6cm,clip]{trans3.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

ここで

$\displaystyle k^2 = \omega^2 LC
$

とおくと、この解は

$\displaystyle \tilde{V} = \tilde{V}_0 e^{\pm ikx}
$

これから

$\displaystyle V = \tilde{V} e^{i\omega t} = \tilde{V}_0 e^{i(\omega t \pm kx)}
$

ここで $ \omega t \pm kx$ は振動の位相を表わす。 位相が一定であるようなところは波面である。

$\displaystyle \omega t \pm kx = const
$

これを $ t$ で微分すると

$\displaystyle \omega \pm k \frac{dx}{dt} = 0
$

位相が伝搬する速度は

$\displaystyle u = \frac{dx}{dt} = \mp \frac{\omega}k = \mp \frac 1{\sqrt{LC}}
$

ここで符号は波の伝わる方向を表わす。 また電流は

$\displaystyle \frac{d\tilde{V}}{dx} = \pm ik\tilde{V} = i\omega L \tilde{I}
$

線路の特性インピーダンスは

$\displaystyle Z_0 = \frac{\tilde{V}}{\tilde{I}} = \frac{\omega L}k = \sqrt{\frac LC}
$


$\displaystyle \epsilon_0 = \frac{10^7}{4\pi c^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 8.85 \times 10^{-12} \ $   [F/m]  
$\displaystyle \mu_0 = \frac{4\pi}{10^7}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.26 \times 10^{-6} \ $   [H/m]  
$\displaystyle \frac 1{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} = c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3.00 \times 10^8 \ $   [m/s]  
$\displaystyle \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = \frac{4\pi c}{10^7}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 377 \ [\Omega]$  



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日