next up previous
Next: 結晶構造解析 Up: X線回折と結晶分光 Previous: 結晶によるX線の回折

水素様原子の構造

中心に $ Z$ 荷の原子核があり、まわりを1個の電子が回っているような原子について考える。 電子の質量を $ m$ とし、原子核の質量は十分大きいとする。 電子が原子核を周回する軌道半径を $ a$ 、速度を $ v$ とする。 このとき遠心力と Coulomb 力とがつりあうので

$\displaystyle \frac{mv^2}a = \frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0a^2}
\begin{picture}(0...
... put(80,-60)\{ includegraphics[width=3.5cm,clip]\{atom.eps\}\}
\end{picture}
$

電子の deBroglie 波の波長は

$\displaystyle \lambda = \frac h{mv}
$

であり、これが周回軌道の上で $ n$ 個の波が立つとすると

$\displaystyle 2\pi a = n\lambda = \frac{nh}{mv}, \qquad (n = 1, 2, \cdots)
$

これは電子の角運動量 $ l$ についての量子化条件である。

$\displaystyle l = mva = n\hbar, \qquad \left(\hbar = \frac h{2\pi}\right)
$

これから $ v$ を消去して

$\displaystyle a = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \frac{n^2}Z
$

ここで

$\displaystyle a_B \equiv \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2}
= 5.29 \times 10^{-11} \ $   [m]$\displaystyle $

は Bohr 半径である。 ついでに速度を求めておくと

$\displaystyle v = \frac{n\hbar}{ma} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar} \frac Zn
$

電子の全エネルギーは

$\displaystyle E_n = \frac 12 mv^2 - \frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 a}
= -\frac{me^4}{2(4\pi \epsilon_o)^2\hbar^2} \frac{Z^2}{n^2}
$

ここで
$\displaystyle E_H \equiv \frac{me^4}{2(4\pi \epsilon_o)^2\hbar^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.18 \times 10^{-18} \ $   [J]  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 13.6 \ $   [eV]  

光の放出はエネルギー準位間の遷移にともなって起きる。

$\displaystyle E_n - E_m = Z^2E_H \left(\frac 1{m^2} - \frac 1{n^2}\right)
= h\nu = \frac{hc}{\lambda}
$

これから
$\displaystyle \frac 1{\lambda}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Z^2E_H}{hc} \left(\frac 1{m^2} - \frac 1{n^2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle Z^2R_H \left(\frac 1{m^2} - \frac 1{n^2}\right)$  

ここで

$\displaystyle R_H \equiv \frac{E_H}{hc} = \frac {me^4}{4\pi(4\pi \epsilon_0)^2\hbar^3c}
= 1.10 \times 10^7 \ [\mathrm{m}^{-1}]
$

Rydberg 定数と呼ばれる。



Keiichi Takasugi
平成25年9月18日