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放射線統計

放射性崩壊、原子核反応、宇宙線係数などは時間的にランダムな現象である。 時間間隔 $T$ の間に平均 $n$ 個の現象が起こるとする。 時間 $T$ の間に $m$ 個の現象が起きる確率 $p(m)$ を求めたい。 時間 $T$$N$ 等分する。 各微小時間に現象が起きる確率は $n/N$、起きない確率は $1-n/N$ である。 $m$ 個の微小時間に現象が起きて、残りで現象が起きない確率は

\begin{displaymath}
\left(\frac nN\right)^m \left(1 - \frac nN\right)^{N-m}
\end{displaymath}

このような組み合わせは

\begin{displaymath}
_NC_m = \frac{N!}{m!(N-m)!}
\end{displaymath}

分割数 $N \rightarrow \infty$ の極限をとってこの現象の起きる確率とする。

\begin{displaymath}
p(m) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{N!}{m!(N-m)!}
\left(\frac nN\right)^m \left(1 - \frac nN\right)^{N-m}
\end{displaymath}

ここで Stirling の公式を用いると

\begin{displaymath}
N! \simeq \left(\frac Ne\right)^N
\end{displaymath}

と近似できるので

\begin{displaymath}
p(m) \simeq \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{N^Ne^{-N}}{m!(N-m)!}
\frac {n^m (N-n)^{N-m}}{N^N}
\end{displaymath}

さらに

\begin{eqnarray*}
(N-n)^{N-m} & = & (N-n)^{N-n} (N-n)^{n-m} \\
& \simeq & (N-n)! e^{N-n} (N-n)^{n-m}
\end{eqnarray*}

とおくと

\begin{eqnarray*}
p(m) & \simeq & \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{e^{-n}n^m}{...
...ac {(N-n)!(N-n)^{n-m}}{(N-m)!} \\
& = & \frac{e^{-n}}{m!} n^m
\end{eqnarray*}

これがPoisson 分布である。

\begin{eqnarray*}
\sum_{m=0}^{\infty} p(m) & = & \sum_{m=0}^{\infty} \frac{n^m}{m!} e^{-n} \\
& = & e^n e^{-n} = 1
\end{eqnarray*}

より、$p(m)$ が確率分布であることがわかる。 $m$ の平均値は

\begin{eqnarray*}
\sum_{m=0}^{\infty} mp(m) & = & \sum_{m=0}^{\infty} m \frac{n...
...ty} n \frac{n^{m-1}}{(m-1)!} e^{-n} \\
& = & n e^n e^{-n} = n
\end{eqnarray*}

また、$m^2$ の平均値は

\begin{eqnarray*}
\sum_{m=0}^{\infty} m^2p(m)
& = & \sum_{m=0}^{\infty} m^2 \f...
...=1}^{\infty} n \frac{n^{m-1}}{(m-1)!} e^{-n} \\
& = & n^2 + n
\end{eqnarray*}

ずれの二乗平均を求めると

\begin{eqnarray*}
\sum_{m=0}^{\infty} (m-n)^2p(m)
& = & \sum_{m=0}^{\infty} m^...
...{m=0}^{\infty} p(m)\\
& = & n^2 + n - 2n^2 + n^2 \\
& = & n
\end{eqnarray*}

したがって標準偏差(標準誤差)は $\sqrt{n}$ となり、測定値 $m$ を得たときは

\begin{displaymath}
m \pm \sqrt{m}
\end{displaymath}

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日