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運動量アナライザ

一様磁場中での荷電粒子の運動。 運動方程式

\begin{displaymath}
m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{v} \times \bm{B}
\begin{pictu...
...ncludegraphics[width=4.5cm,clip]{momentum.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

磁場 $\bm{B} = (0, 0, B)$ として成分に分けると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dv_x}{dt} = ...
...ystyle \frac{dv_y}{dt} = -\frac qm v_xB
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

これを解くと

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
v_x = v_0 \cos(\omega t + \phi) \\
v_y = -v_0 \sin(\omega t + \phi)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

ここで $\omega \equiv qB/m$ はサイクロトロン振動数である。 さらに

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x = x_0 + \frac{v_...
...cludegraphics[width=4.5cm,clip]{momentum2.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

半径 $r_0 \equiv v_0/\omega$ で回転運動をする。 $r_0$ は Larmor 半径と呼ばれる。 ここで $v_{y0}/v_{x0} = \tan \theta$ とすると $\phi = \theta$、また $t = 0$$x = y = 0$ とすると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x = r_0\{\sin(\omega t + \theta)...
...\cos(\omega t + \theta) - \cos \theta\}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

ここで、$y = 0$ となるのは $\omega t + \theta = \pm \theta$ より、 $t = 0, -2\theta/\omega$ であるので

\begin{eqnarray*}
l & = & 2r_0 \sin \theta \\
& = & \frac{2mv_0}{qB} \sin \theta
\end{eqnarray*}

すなわち飛距離 $l$ は入射粒子の運動量に比例し、磁場 $B$ との比によって決まる。

\begin{displaymath}
\frac{dl}{d\theta} = 2r_0 \cos \theta = 0
\end{displaymath}

より $\theta = \pi/2$ のときに極値をとり、$\theta$ に対する変化が最も小さくなる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日