静電エネルギーアナライザ

一様電場中での荷電粒子の運動。 運動方程式

$$m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{E} \begin{picture}(0,0) \put... ...\includegraphics[width=4.5cm,clip]{energy.eps}} \end{picture}$$

電場 $\bm{E} = (0, -E)$ として成分に分けると

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dv_x}{dt} = ... ...playstyle \frac{dv_y}{dt} = -\frac{qE}m \end{array} \right.$$

これから

$$\left\{ \begin{array}{l} v_x = v_{x0} \\ \displaystyle v_y = v_{y0} - \frac{qE}m t \end{array} \right.$$

さらに

$$\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + v_{x0}t \\ \displaystyle y = y_0 + v_{y0}t - \frac{qE}{2m} t^2 \end{array} \right.$$

ここで $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ として $y$ と $x$ の関係を求めると

$$y = \frac{v_{y0}}{v_{x0}} x \left(1 - \frac{qE}{2mv_{x0}v_{y0}} x\right)$$

これは上に凸の放物線で、$x$ 方向の幅は

$$l = \frac{2mv_{x0}v_{y0}}{qE}$$

特に入射角を $\theta$ とすると

$$\left\{ \begin{array}{l} v_{x0} = v_0 \cos \theta \\ v_... ...includegraphics[width=4.5cm,clip]{energy2.eps}} \end{picture}$$

であるので

$$l = \frac{mv_0^2 \sin 2\theta}{qE}$$

すなわち飛距離 $l$ は入射粒子の運動エネルギーに比例し、電場 $E$ との比によって決まる。

$$\frac{dl}{d\theta} = \frac{2mv_0^2 \cos 2\theta}{qE} = 0$$

より $\theta = \pi/4$ のときに極値をとり、$\theta$ に対する変化が最も小さくなる。