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静電エネルギーアナライザ

一様電場中での荷電粒子の運動。 運動方程式

\begin{displaymath}
m \frac {d\bm{v}}{dt} = q\bm{E}
\begin{picture}(0,0)
\put...
...\includegraphics[width=4.5cm,clip]{energy.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

電場 $\bm{E} = (0, -E)$ として成分に分けると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dv_x}{dt} = ...
...playstyle \frac{dv_y}{dt} = -\frac{qE}m
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
v_x = v_{x0} \\
\displaystyle v_y = v_{y0} - \frac{qE}m t
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

さらに

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x = x_0 + v_{x0}t \\
\displaystyle y = y_0 + v_{y0}t - \frac{qE}{2m} t^2
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

ここで $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ として $y$$x$ の関係を求めると

\begin{displaymath}
y = \frac{v_{y0}}{v_{x0}} x \left(1 - \frac{qE}{2mv_{x0}v_{y0}} x\right)
\end{displaymath}

これは上に凸の放物線で、$x$ 方向の幅は

\begin{displaymath}
l = \frac{2mv_{x0}v_{y0}}{qE}
\end{displaymath}

特に入射角を $\theta$ とすると

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
v_{x0} = v_0 \cos \theta \\
v_...
...includegraphics[width=4.5cm,clip]{energy2.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

であるので

\begin{displaymath}
l = \frac{mv_0^2 \sin 2\theta}{qE}
\end{displaymath}

すなわち飛距離 $l$ は入射粒子の運動エネルギーに比例し、電場 $E$ との比によって決まる。

\begin{displaymath}
\frac{dl}{d\theta} = \frac{2mv_0^2 \cos 2\theta}{qE} = 0
\end{displaymath}

より $\theta = \pi/4$ のときに極値をとり、$\theta$ に対する変化が最も小さくなる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日