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火花放電(Breakdown)

電極間隔を $d$ とする。 カソード上で $n_0$ 個の電子から出発してアノードに到達するとき

\begin{displaymath}
n = n_0 e^{\alpha d}
\end{displaymath}

増加分は $n_0 (e^{\alpha d} - 1)$ で、これが生成された正イオンの数でもある。 このイオンがカソードに進み、$\gamma$ 作用によってカソードから二次電子を放出させる。 この $\gamma$Townsend の第二係数という。

\begin{displaymath}
n = \gamma n_0 \left(e^{\alpha d} - 1\right) \geq n_0
\end{displaymath}

のときポジティブフィードバックによって、電流が無限に増大する。 すなわち

\begin{displaymath}
\gamma \left(e^{\alpha d} - 1\right) = 1
\end{displaymath}

が火花放電(breakdown)を起こす条件である。 これから

\begin{displaymath}
Apd e^{-\frac B{E/p}} = \log \left(\frac 1{\gamma} + 1\right)
\end{displaymath}

Breakdown 電圧を $V = Ed$ とおくと

\begin{displaymath}
e^{-\frac {Bpd}V} = \frac{\log \left(\frac 1{\gamma} + 1\right)}{Apd}
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
V = \frac{Bpd}{\log \frac{Apd}{\log \left(\frac 1{\gamma} +...
...includegraphics[width=4.5cm,clip]{paschen.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

ただしここで

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x = pd \\
\displaystyle C = \f...
...{\log \left(\frac 1{\gamma} + 1\right)}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

とおいた。 これをPaschen の法則といい、Breakdown 電圧は $pd$ だけで決まる。

$V$ が極小値をとるときの条件を求めてみる。

\begin{displaymath}
\frac{dV}{dx} = \frac B{\log Cx} \left(1 - \frac 1{\log Cx}\right) = 0
\end{displaymath}

より

\begin{displaymath}
\log Cx = 1
\end{displaymath}

すなわち

\begin{displaymath}
x = \frac eC = \frac{e\log \left(\frac 1{\gamma} + 1\right)}A
\end{displaymath}

これは放電のしやすい圧力 $p$ の範囲を与える。 このとき

\begin{displaymath}
V = Bx
\end{displaymath}

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日