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衝突の断面積と平均自由行程

標的となる原子あるいは分子の大きさを断面積 $\sigma$ [m$^2$] で表わす。 標的の密度を $N$ [m$^{-3}$] とすると、距離 $dx$ の間にある標的の面積は $n\sigma dx$ であるので、入射粒子の数を $n$ とすると

\begin{displaymath}
dn = - nN\sigma dx
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\frac 1n \frac {dn}{dx} = - N\sigma
\end{displaymath}

\includegraphics[height=4cm,clip]{crosssection.eps}
これを解くと

\begin{displaymath}
n = n_0 e^{-N\sigma x}
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
\lambda \equiv \frac 1{N\sigma}
\end{displaymath}

は入射粒子が $1/e$ に減少する距離で、平均自由行程(mean free path)と呼ばれる。 入射粒子の速度を $v=dx/dt$ とすると

\begin{displaymath}
\frac 1n \frac {dn}{dx} \frac {dx}{dt} = \frac 1n \frac {dn}{dt} = - N \sigma v
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
n = n_0 e^{-N \sigma vt}
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
\nu \equiv N \sigma v
\end{displaymath}

は衝突頻度(collision frequency)と呼ばれる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日