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伝送線路

線路要素 $dx$ あたり $Ldx$ および $Cdx$ の素子からなる分布定数回路について考える。 電圧および電流の変化率は

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
d\tilde{V} = -i\omega Ldx (\tild...
...\
d\tilde{I} = -i\omega Cdx \tilde{V}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d\tilde{V}}{...
...){\includegraphics[width=4cm,clip]{trans2.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

これから次の伝搬方程式(電信方程式)が得られる。

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d^2\tilde{V}...
...){\includegraphics[width=4cm,clip]{trans3.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
k^2 = \omega^2 LC
\end{displaymath}

とおくと、この解は

\begin{displaymath}
\tilde{V} = \tilde{V}_0 e^{\pm ikx}
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
V = \tilde{V} e^{i\omega t} = \tilde{V}_0 e^{i(\omega t \pm kx)}
\end{displaymath}

ここで $\omega t \pm kx$ は振動の位相を表わす。 位相が一定であるようなところは波面である。

\begin{displaymath}
\omega t \pm kx = const
\end{displaymath}

これを $t$ で微分すると

\begin{displaymath}
\omega \pm k \frac{dx}{dt} = 0
\end{displaymath}

位相が伝搬する速度は

\begin{displaymath}
u = \frac{dx}{dt} = \mp \frac{\omega}k = \mp \frac 1{\sqrt{LC}}
\end{displaymath}

ここで符号は波の伝わる方向を表わす。 また電流は

\begin{displaymath}
\frac{d\tilde{V}}{dx} = \pm ik\tilde{V} = i\omega L \tilde{I}
\end{displaymath}

線路の特性インピーダンスは

\begin{displaymath}
Z_0 = \frac{\tilde{V}}{\tilde{I}} = \frac{\omega L}k = \sqrt{\frac LC}
\end{displaymath}



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日