伝送線路

線路要素 $dx$ あたり $Ldx$ および $Cdx$ の素子からなる分布定数回路について考える。 電圧および電流の変化率は

$$\left\{ \begin{array}{l} d\tilde{V} = -i\omega Ldx (\tild... ...\ d\tilde{I} = -i\omega Cdx \tilde{V} \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d\tilde{V}}{... ...){\includegraphics[width=4cm,clip]{trans2.eps}} \end{picture}$$

これから次の伝搬方程式（電信方程式）が得られる。

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d^2\tilde{V}... ...){\includegraphics[width=4cm,clip]{trans3.eps}} \end{picture}$$

ここで

$$k^2 = \omega^2 LC$$

とおくと、この解は

$$\tilde{V} = \tilde{V}_0 e^{\pm ikx}$$

これから

$$V = \tilde{V} e^{i\omega t} = \tilde{V}_0 e^{i(\omega t \pm kx)}$$

ここで $\omega t \pm kx$ は振動の位相を表わす。 位相が一定であるようなところは波面である。

$$\omega t \pm kx = const$$

これを $t$ で微分すると

$$\omega \pm k \frac{dx}{dt} = 0$$

位相が伝搬する速度は

$$u = \frac{dx}{dt} = \mp \frac{\omega}k = \mp \frac 1{\sqrt{LC}}$$

ここで符号は波の伝わる方向を表わす。 また電流は

$$\frac{d\tilde{V}}{dx} = \pm ik\tilde{V} = i\omega L \tilde{I}$$

線路の特性インピーダンスは

$$Z_0 = \frac{\tilde{V}}{\tilde{I}} = \frac{\omega L}k = \sqrt{\frac LC}$$