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LCR放電

コンデンサに蓄積されたエネルギーをインダクティブな負荷に放電する場合について考えてみよう。 コンデンサから流れ出る方向に電流をとる。 初期電圧を$V_0$とし、初期電流を$0$とする。 コンデンサ $C$、抵抗 $R$、コイル $L$ それぞれにかかる電圧は

\begin{eqnarray*}
V_C & = & \frac QC = V_0 - \frac 1C \int Idt \\
V_R & = & R...
...,-50){\includegraphics[height=3cm,clip]{lcr.eps}}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

ここで

\begin{displaymath}
V_C = V_R + V_L
\end{displaymath}

より

\begin{displaymath}
V_0 = \frac 1C \int Idt + RI + L \frac {dI}{dt}
\end{displaymath}

これを $t$ で微分すると電流に関して2階の微分方程式ができる。

\begin{displaymath}
L \frac {d^2I}{dt^2} + R \frac {dI}{dt} + \frac IC = 0
\end{displaymath}

解の形を $I = e^{\lambda t}$ とおくと、特性方程式は

\begin{displaymath}
L \lambda^2 + R \lambda + \frac 1C = 0
\end{displaymath}

これから根が求められる。

\begin{displaymath}
\lambda = \frac {-R \pm \sqrt{R^2 - 4L/C}}{2L}
\end{displaymath}

i).
重根のとき ($R^2 = 4L/C$)
根は $\lambda = -R/2L$となり、一般解は

\begin{displaymath}
I = I_1 e^{\lambda t} + I_2 te^{\lambda t}
\end{displaymath}

となる。 初期条件、時刻$t = 0$$I = 0$より、$I_1 =0$。 また、

\begin{displaymath}
L \frac {dI}{dt} = LI_2 = V_0
\end{displaymath}

より $I_2 = \frac {V_0}L$ となる。 これから解は

\begin{displaymath}
I = \frac {V_0}L t e^{-\frac R{2L} t}
\begin{picture}(0,0)...
...ncludegraphics[width=4.5cm,clip]{critical.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

これは臨界制動 (Critical Damping) とよばれ、マッチングがとれて抵抗$R$に最も速くエネルギーが伝達される。

ii).
実根のとき ($R^2 > 4L/C$)
一般解は2根をそれぞれ$\lambda_1$$\lambda_2$とすると

\begin{displaymath}
I = I_1 e^{\lambda_1 t} + I_2 e^{\lambda_2 t}
\end{displaymath}

となる。 初期条件より、$I_1 + I_2 = 0$。 また、

\begin{displaymath}
L \frac {dI}{dt} = (\lambda_1 - \lambda_2) LI_1 = V_0
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
I_1 = -I_2 = \frac {V_0}{\sqrt{R^2 - 4L/C}}
\end{displaymath}

となる。 これは過制動 (Overdamping) とよばれ、臨界制動に比べて抵抗$R$にゆっくりとエネルギーが伝達される。 特に $R^2 \gg 4L/C$ の条件で $I_1 \approx \frac {V_0}R$ $\lambda_1 \approx -\frac 1{CR}$ $\lambda_2 \approx -\frac RL$ となる。 このとき解は

\begin{displaymath}
I \approx \frac {V_0}R \left( e^{-\frac t{CR}} -e^{-\frac R...
...ncludegraphics[width=4.5cm,clip]{overdamp.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

となる。

iii).
虚根のとき ($R^2 < 4L/C$)
振動解になる。 改めて2根を

\begin{displaymath}
\lambda = - \frac R{2L} \pm i\omega
\end{displaymath}

とおく。 ただし 

\begin{displaymath}
\omega = \sqrt{\frac 1{LC} - \left( \frac R{2L} \right)^2}
\end{displaymath}

である。 一般解は

\begin{displaymath}
I = e^{-\frac R{2L}t} (I_1 \sin \omega t + I_2 \cos \omega t)
\end{displaymath}

初期条件より、$I_2 = 0$。 また、

\begin{displaymath}
L \frac {dI}{dt} = LI_1 \omega = V_0
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
I_1 = \frac {V_0}{\omega L}
\end{displaymath}

となる。 振動は振動数$\omega$で起こり、包絡線(振幅をたどった線)は指数関数的に減衰する。 これは不足制動 (Underdamping) あるいは 減衰振動 (Damped Oscillation) とよばれ、エネルギーは$C$$L$の間を行き来しながらゆっくりと$R$で消費される。 特に $R^2 \ll 4L/C$ の条件で $\omega \approx \frac 1{\sqrt{LC}}$ $I_1 \approx V_0 \sqrt{\frac CL}$ となる。 このとき解は

\begin{displaymath}
I \approx V_0 \sqrt{\frac CL} e^{-\frac R{2L}t} \sin \frac ...
...cludegraphics[width=5cm,clip]{oscillation.eps}}
\end{picture}
\end{displaymath}

となる。


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Keiichi Takasugi
平成24年2月9日