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関数式の二乗平均誤差

測定データ $(x_i, y_i)$ を直線で近似する場合について考える。 近似式を

\begin{displaymath}
F = ax + b
\end{displaymath}

とする。 残差 $\rho_i$ に対する方程式は

\begin{displaymath}
ax_i + b = y_i - \rho_i
\end{displaymath}

係数 $a$$b$ の各誤差 $\alpha$$\beta$ を評価する。 誤差 $\xi_i$ に対する式は

\begin{displaymath}
(a - \alpha) x_i + (b - \beta) = y_i - \xi_i
\end{displaymath}

これから各誤差について
\begin{displaymath}
\alpha x_i + \beta = \xi_i - \rho_i
\end{displaymath} (1)

これに $\xi_i$ をかけて和をとると

\begin{displaymath}
\alpha \sum_i x_i \xi_i + \beta \sum_i \xi_i = \sum_i \xi_i^2 - \sum_i \rho_i \xi_i
\end{displaymath}

また、$\rho_i$ をかけて和をとると

\begin{displaymath}
\alpha \underline{\sum_i x_i \rho_i} + \beta \underline{\su...
...}}
\put(-105,-40){\color{red} 0}
\end{picture}
\vspace{1cm}
\end{displaymath}

となるから

\begin{displaymath}
\sum_i \rho_i \xi_i = \sum_i \rho_i^2
\end{displaymath}

これから
\begin{displaymath}
\alpha \sum_i x_i \xi_i + \beta \sum_i \xi_i = \sum_i \xi_i^2 - \sum_i \rho_i^2
\end{displaymath} (2)

が得られる。

残差方程式から正規方程式を導いたのと同じ手続きによって、(1) 式より

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lll}
\displaystyle \alpha \sum_i x_...
... \beta & = & \displaystyle \sum_i \xi_i
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

が得られる。 この解は

\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac {\displaystyle n\sum_i x_i \xi_i - \sum_i ...
...sum_i x_i^2 \sum_i \xi_i - \sum_i x_i \sum_i x_i \xi_i}{\Delta}
\end{eqnarray*}

となる。 ここで

\begin{displaymath}
\Delta = n \sum_i x_i^2 - (\sum_i x_i)^2
\end{displaymath}

である。 この $\alpha$$\beta$ を (2) 式に代入して誤差を評価する。 確率的に

\begin{displaymath}
\xi_1^2 = \xi_2^2 = \cdots = \xi_n^2 = \frac 1n \sum_i \xi_i^2 = \sigma^2
\end{displaymath}

また

\begin{displaymath}
\xi_i \xi_j = 0 \hspace{1zw} (i \neq j)
\end{displaymath}

であるから

\begin{eqnarray*}
\alpha \sum_i x_i \xi_i & = & \frac {\displaystyle n (\sum_i ...
...x_i \sum_i \xi_i \sum_i x_i \xi_i}{\Delta} \\
& = & \sigma^2
\end{eqnarray*}

これから

\begin{displaymath}
2 \sigma^2 = n \sigma^2 - \sum_i \rho_i^2
\end{displaymath}

となり、1観測値の二乗平均誤差は

\begin{displaymath}
\sigma = \sqrt{\frac {\displaystyle \sum_i \rho_i^2}{n - 2}}
\end{displaymath}

と評価される。

係数 $a$$b$ の二乗平均誤差は $\sigma$ を用いて

\begin{eqnarray*}
\alpha^2 & = & \frac {\displaystyle (n\sum_i x_i \xi_i - \sum...
...ma^2}{\Delta} \\
\alpha & = & \sigma \sqrt{\frac {n}{\Delta}}
\end{eqnarray*}

また

\begin{eqnarray*}
\beta^2 & = & \frac {\displaystyle (\sum_i x_i^2 \sum_i \xi_i...
... & = & \sigma \sqrt{\frac {\displaystyle \sum_i x_i^2}{\Delta}}
\end{eqnarray*}

のようになる。


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Keiichi Takasugi
平成24年2月9日