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三角関数

近似式はベキ級数である必要はない。

\begin{displaymath}
y = a \sin x + b \cos x
\end{displaymath}

で近似してみよう。 残差方程式は

\begin{displaymath}
a \sin x_i + b \cos x_i = y_i - \rho_i
\end{displaymath}

すなわち

\begin{displaymath}
\rho_i(a, b) = y_i - a \sin x_i - b \cos x_i
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \rh...
...partial \rho_i}{\partial b} = -\cos x_i
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

誤差の二乗和を最小にする条件は

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_i \rho_i \fra...
...- a \sin x_i - b \cos x_i) \cos x_i = 0
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

正規方程式は

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle a \sum_i \sin^2 x_...
...\sum_i \cos^2 x_i = \sum_i \cos x_i y_i
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

この解は

\begin{eqnarray*}
a & = & \frac {\displaystyle \sum_i \sin x_i y_i \sum_i \cos^...
...^2 x_i - \sum_i \sin x_i y_i \sum_i \sin x_i \cos x_i}{\Delta'}
\end{eqnarray*}

ただし

\begin{displaymath}
\Delta' \equiv \sum_i \sin^2 x_i \sum_i \cos^2 x_i - (\sum_i \sin x_i \cos x_i)^2
\end{displaymath}

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日