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$m$ 次多項式

近似したい関数式を

\begin{displaymath}
y = a_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m = \sum_{k=0}^m a_kx^k
\end{displaymath}

とすると残差方程式は

\begin{displaymath}
a_0 + a_1x_i + \cdots + a_mx_i^m = y_i - \rho_i
\end{displaymath}

すなわち

\begin{displaymath}
\rho_i(a_0, a_1, \cdots, a_m) = y_i - a_0 - a_1x_i - \cdots - a_mx_i^m
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
\frac {\partial \rho_i}{\partial a_k} = -x_i^k
\end{displaymath}

誤差の二乗和を最小にする条件より

\begin{displaymath}
\sum_i \rho_i \frac{\partial \rho_i}{\partial a_k}
= - \su...
...s - a_mx_i^m) x_i^k = 0 ,
\hspace{1zw} (k = 1, 2, \cdots, m)
\end{displaymath}

正規方程式は

\begin{displaymath}
a_0 \sum_i x_i^k + a_1 \sum_i x_i^{k+1} + \cdots + a_m \sum_i x_i^{k+m}
= \sum_i x_i^k y_i
\end{displaymath}

この $m + 1$ 階の連立方程式から $m + 1$ 個の未知数 $a_0, a_1, \cdots, a_m$ を決定する。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日