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一次関数

$n$ 回の測定から得られたデータ $(x_i, y_i)$ を直線で近似してみよう。

\begin{displaymath}
F = ax + b
\end{displaymath}

係数 $a$$b$ は関数形を決定する未知の要素である。 残差 $\rho_i$ に対する残差方程式は

\begin{displaymath}
ax_i + b = y_i - \rho_i
\end{displaymath}

これを、 $\sum \rho_i^2$ が最小になるように、$a$$b$ を決定したい。

\begin{displaymath}
\rho_i(a, b) = y_i - ax_i - b
\end{displaymath}

であるから

\begin{displaymath}
\frac {\partial \rho_i}{\partial a} = -x_i, \hspace{1zw} \frac {\partial \rho_i}{\partial b} = -1
\end{displaymath}

これから

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lll}
\displaystyle \sum_i \rho_i \f...
...splaystyle - \sum_i (y_i - ax_i -b) = 0
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

すなわち

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lll}
\displaystyle a \sum_i x_i^2 +...
...x_i + nb & = & \displaystyle \sum_i y_i
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

これが正規方程式である。 この解は

\begin{eqnarray*}
a & = & \frac {\displaystyle n\sum_i x_i y_i - \sum_i x_i \su...
...le \sum_i x_i^2 \sum_i y_i - \sum_i x_i \sum_i x_i y_i}{\Delta}
\end{eqnarray*}

ただし

\begin{displaymath}
\Delta \equiv n \sum_i x_i^2 - (\sum_i x_i)^2
\end{displaymath}

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日