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最確値の誤差

真の値を $Z$ とする。 各測定値 $z_i$ の平均値 $\bar{z}$ がその最確値である。 最確値が真の値 $Z$ からどれくらいずれているか考察してみる。

各誤差は

\begin{displaymath}
\xi_i = z_i - Z
\end{displaymath}

最確値と測定値との差

\begin{displaymath}
\rho_i = z_i - \bar{z}
\end{displaymath}

を残差と呼ぶ。 ここで、

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^n \rho_i = \sum_{i=1}^n z_i - n \bar{z}= 0
\end{displaymath}

である。 最確値の誤差は

\begin{eqnarray*}
\delta & = & \bar{z} - Z \\
& = & \frac 1n \sum_{i=1}^n (\xi_i - \rho_i) \\
& = & \frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i
\end{eqnarray*}

このような測定のセットを多数回行なうとする。 すなわち、$\xi_i$ のそれぞれについて多くの値、$\xi_{ik}$ ( $k = 1, 2, ... N$) を得たとする。 最確値の各誤差 $\delta_k$

\begin{displaymath}
\delta_k = \frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_{ik}
\end{displaymath}

この二乗平均の平方根は最確値の二乗平均誤差である。

\begin{eqnarray*}
\sigma_m^2 & = & \frac 1N \sum_{k=1}^N \delta_k^2 \\
& = &...
...160,20){\color{red} 正値、負値をとる確率は等しい}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

あるいは

\begin{displaymath}
\sigma_m = \frac {\sigma}{\sqrt{n}}
\end{displaymath}

したがって、測定のばらつきが $\sigma$ であっても測定回数を増やせば最確値の精度は高くなる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日