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課題

Gauss分布を規格化する。

\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^{\infty} f(\xi)d\xi = 1
\end{displaymath}

ここで

\begin{displaymath}
I \equiv \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx
\end{displaymath}

と置くと

\begin{eqnarray*}
I^2 & = & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^...
...,80){\color{red} とおくと \, $dxdy = rdrd\theta$}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

となる。 したがって

\begin{displaymath}
I = \sqrt{\pi}
\end{displaymath}

これを用いると

\begin{eqnarray*}
C' \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {\xi^2}{2\sigma^2}} d\xi...
...lor{red} とおくと \, $d\xi = \sqrt{2} \sigma dx$}
\end{picture}
\end{eqnarray*}

より

\begin{displaymath}
C' = \frac 1{\sqrt{2\pi} \sigma}
\end{displaymath}

したがって

\begin{displaymath}
f(\xi) = \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left(-\frac {\xi^2}{2\sigma^2} \right)
\end{displaymath}

となる。

Gauss分布の形を調べ、プロットする。 微分すると

\begin{displaymath}
f'(\xi) = -\frac {\xi}{\sqrt{2\pi} \sigma^3} \exp \left( -\frac {\xi^2}{2\sigma^2} \right) = 0
\end{displaymath}

より

\begin{displaymath}
\xi = 0
\end{displaymath}

で極大値をとる。 さらにもう一回微分して

\begin{eqnarray*}
f''(\xi) & = & -\frac 1{\sqrt{2\pi} \sigma^3} \exp \left( -\f...
...t)
\exp \left( -\frac {\xi^2}{2\sigma^2} \right) \\
& = & 0
\end{eqnarray*}

より、変曲点は

\begin{displaymath}
\xi = \pm \sigma
\end{displaymath}

となる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日