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偏差値

試験の成績は 0 点と満点で切られてしまうし、ランダムな要因で成績にばらつきが出るとは考えにくい。 したがってこれがGauss分布になるとはとても思えないが、無理やりGauss分布と対応させて成績を評価したものが偏差値である。

試験の成績を $z_i$ ( $i = 1, 2, \cdots n$) とする。 平均点は

\begin{displaymath}
\bar{z} = \frac 1n \sum_{i=1}^{n} z_i
\end{displaymath}

標準偏差は

\begin{displaymath}
s = \sqrt{\frac 1n \sum_{i=1}^{n} (z_i - \bar{z})^2}
\end{displaymath}

成績の分布がGauss分布にしたがうとき、$s = \sigma$ となる。 偏差値の定義は

\begin{displaymath}
z_i' \equiv \frac {10 (z_i - \bar{z})}s + 50
\end{displaymath}

である。

平均点 ($z_i = \bar{z}$) であれば $z_i'$ = 50、平均点よりも標準偏差 $s$ だけ点数が高ければ ( $z_i = \bar{z} + s$ であれば) $z_i'$ = 60 となる。 $\pm \sigma$ の確率積分が 0.68 であるので、偏差値が 60 であれば上位から 16 % の位置にいることになる。



Keiichi Takasugi
平成24年2月9日