二乗平均誤差

真の値を $Z$ とする。 測定値 $z_i$ ( $i = 1, 2, \cdots$) の分布状態からその測定値がどの程度信頼できるか考察してみる。 各測定値の誤差 $\xi_i = z_i - Z$ の二乗の平均の平方根 (標準偏差)、

$$s = \sqrt{\frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i^2}$$

を二乗平均誤差、あるいは標準誤差という。

誤差の分布が連続的で Gauss 分布に従うとき、$s^2$ は $\xi^2$ の期待値となり

$$\begin{eqnarray*} s^2 & = & \int_{-\infty}^{\infty} \xi^2 f(\xi)d\xi \\ & = &... ...t{2\pi}\sigma} \frac {\sqrt{2\pi}\sigma^3}2 \\ & = & \sigma^2 \end{eqnarray*}$$

すなわち $s$ は $\sigma$ に一致する。 あるいは $\xi_i$ を用いて

$$\xi_1^2 = \xi_2^2 = \cdots = \frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i = \sigma^2$$